Question

5．某戶外用品專賣店準(zhǔn)備在“五一”期間舉行促銷活動(dòng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，該店決定從2種不同品牌的沖鋒衣，2種不同品牌的登山鞋和3種不同品牌的羽絨服中，隨機(jī)選出4種不同的商品進(jìn)行促銷（注：同種類但不同品牌的商品也視為不同的商品），該店對(duì)選出的商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高150元，同時(shí)，若顧客購(gòu)買該商品，則允許有三次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)都獲得m元獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的概率都是$\frac{1}{2}$，設(shè)顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額（單位：元）為隨機(jī)變量X．
（1）求隨機(jī)選出的4種商品中，沖鋒衣，登山鞋，羽絨服都至少有一種的概率；
（2）請(qǐng)寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望；
（3）該店若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所有的抽取方法共有${C}_{7}^{4}$ 種，而滿足條件抽取方法為2${C}_{2}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{2}$ 種，從而求得所求事件的概率．
（2）先求出隨機(jī)變量X可能取值、以及取每個(gè)值的概率，即可得到X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．
（3）若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望要低于提價(jià)數(shù)，即$\frac{3m}{2}$＜1500，由此求得m的范圍．

解答 解：（1）所有的抽取方法共有${C}_{7}^{4}$=35種，
沖鋒衣，登山鞋，羽絨服都至少有一種的抽取方法為2${C}_{2}^{2}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{1}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{2}^{1}$•${C}_{3}^{2}$=24種，
故沖鋒衣，登山鞋，羽絨服都至少有一種的概率為 $\frac{24}{35}$．
（2）隨機(jī)變量X可能取值為0，m，2m，3m，
P（X=0）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，P（X=m）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（X=2m）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，P（X=3m）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
故X的分布列為：

X	0	m	2m	3m
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

故X的數(shù)學(xué)期望EX=0+m×$\frac{3}{8}$+2m×$\frac{3}{8}$+3m×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$m．
（3）若想采用此促銷方案獲利，則每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望要低于提價(jià)數(shù)，
即$\frac{3m}{2}$＜1500，∴m＜100，即每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金要低于100元，才對(duì)商場(chǎng)有利．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查古典概率，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，求得隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．