Question

已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓；
（2）若曲線C與直線y=x+1交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

解：（1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，解得：m＜5；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又y=x+1，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，
∴2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0③，
將直線方程y=x+1與曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0，
聯(lián)立并消去y得：2x²-4x+m-3=0，由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=2①，x₁x₂=②，
將①、②代入③得：4++1=0，
則m=-7．
分析：（1）由二元二次方程構(gòu)成圓的條件D²+E²-4F＞0列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到滿足題意m的范圍；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1列出關(guān)系式，然后將直線y=x+1與已知曲線聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求出兩根之和與兩根之積，將y=x+1代入x₁x₂+y₁y₂，化為關(guān)于兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，整理后將求出的兩根之和與兩根之積代入，即可求出m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，二元二次方程構(gòu)成圓的條件，韋達(dá)定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，是一道高考中常考的綜合題．