Question

【題目】在以為圓心，6為半徑的圓內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑交于點(diǎn).

（1）判斷點(diǎn)的軌跡是什么曲線，并求其方程；

（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的最大值；

（3）在圓上的任取一點(diǎn)，作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，試判斷與是否垂直，并給出證明過(guò)程.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓. （2）（3）垂直.見解析

【解析】

(1)根據(jù)題意知，，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b、c即可寫出橢圓的方程；(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)可求得，當(dāng)直線斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立可表示出、，代入中即可求得的最大值；(3)當(dāng)有一條切線斜率不存在時(shí)求出切線易證兩切線垂直；當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線與橢圓相切知即可求出，證明兩條切線垂直.

解：（1）由題知：， ，

∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.

由，得，又，∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，，

∴.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為，直線方程為，

與聯(lián)立，消得，

則，

設(shè)，，，，

則

.

綜上，的最大值為.

（3）垂直.證明如下：設(shè)點(diǎn)，則.

①當(dāng)兩切線中有一條切線斜率不存在時(shí)，即與軸垂直時(shí)，切線方程為，

即，得，∴另一條切線方程為，即與軸平行，∴兩切線垂直.

②當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)切線方程為，

聯(lián)立，消得.

由于直線與橢圓相切，得

.

化簡(jiǎn)得.

∵，∴，即兩條切線相互垂直.

綜上，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線與垂直.