Question

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，用分點(diǎn)T：a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…x_n=b將區(qū)間[a，b]任意劃分成n個(gè)小區(qū)間，如果存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得和≤M（i=1，2，…，n）恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．
（1）函數(shù)f（x）=x²在[0，1]上是否為有界變差函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）是[a，b]上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)；
（3）若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：存在常數(shù)k，使得對(duì)于任意的x₁、x₂∈[a，b]時(shí)，|f（x₁）-f（x₂）|≤k•|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)在[0，1]是增函數(shù)，去掉絕對(duì)值，將連和符號(hào)用函數(shù)值的和表示出，求出值為，取M大于等于此值，滿足有界變差函數(shù)的定義
（2）利用函數(shù)為減函數(shù)，將連和符號(hào)中的絕對(duì)值符號(hào)去掉，將連和用函數(shù)值的差表示出，求出連和的值，將M取此值，滿足有界變差函數(shù)的定義．
（3）利用已知不等式，將函數(shù)值差的連和表示成自變量差的連和，去掉絕對(duì)值，將連和寫成自變量差的和形式，求出連和的值，找到M，滿足有界變差函數(shù)的定義．
解答：解：（1）∵f（x）=x²在[0，1]上是增函數(shù)∴對(duì)任意劃分Tf（x_n）＞f（x_n-1）
|f（x_i）-f（x_i-1）|=f（x₁）-f（x）+…+f（x_n）-f（x_n-1）=f（1）-f（0）=1
取常數(shù)M≥1，則和式（i=1，2，3…n）恒成立
所以函數(shù)f（x）在[0，1]是有界變差函數(shù)
（2）∵函數(shù)f（x）是[a，b]上的單調(diào)遞減函數(shù)
任意的劃分T，Ta=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
∴+f（x_n）
∴一定存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使f（a）-f（b）≤M
故f（x）為[a，b]上有界變差函數(shù)
∵|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|
∴對(duì)任意的劃分T，a=x＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b
==k（b-a）
取常數(shù)M=k（b-a）
由有界變差函數(shù)定義知f（x）為有界變差函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題中的新定義、判斷一個(gè)函數(shù)是否是有界變差函數(shù)，關(guān)鍵是求出函數(shù)差的連和，找出M．