Question

設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y²=3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（　�。�

• A、

  3 3

  4

• B、

  9 3

  8

• C、

  63

  32

• D、

  9

  4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由直線(xiàn)的傾斜角求出斜率，寫(xiě)出過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，把△OAB的面積表示為兩個(gè)小三角形AOF與BOF的面積和得答案．

解答： 解：由y²=3x，得2p=3，p=

3

2

，
則F（

3

4

，0）．
∴過(guò)A，B的直線(xiàn)方程為y=

3

3

(x-

3

4

)，
即x=

3

y+

3

4

．
聯(lián)立

y2=3x x= 3 y+ 3 4

，得4y2-12

3

y-9=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y1+y2=3

3

，y1y2=-

9

4

．
∴S△OAB=

1

2

×

3

4

|y1-y2|
=

3

8

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

8

(3 3 )2-4×(- 9 4 )

=

9

4

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)關(guān)系問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)，然后利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．