如圖，用一個不平行于底面的平面

去截圓錐，證明這個平面與圓錐的交線是一個橢圓.

思路點(diǎn)撥：

運(yùn)用Dandelin雙球討論證明.

證明：如圖，在圓錐內(nèi)部嵌入Dandelin雙球，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方，并且與平面π均相切.

當(dāng)平面π與底面的夾角β大于圓錐母線與底面的夾角時，平面π與圓錐的交線是一條封閉曲線.

設(shè)兩個球與平面π的切點(diǎn)分別為F1、F2，與圓錐相切于圓S1、S2，在截口的曲線上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PF1、PF2，過P作母線交S1于Q1，S2于Q2.

于是PF1和PQ1是從P到上方球的兩條切線，因此,PF1=PQ1，同理，PF2=PQ2.

∴PF1+PF2=PQ1+PQ2=Q1Q2.

由正圓錐的對稱性，Q1Q2的長度等于兩圓S1、S2所在平行平面間的母線段的長度，與P的位置無關(guān).

由此我們可以斷定截口的曲線是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓.

練習(xí)冊系列答案
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某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點(diǎn)，度量點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖．

（Ⅰ）拖動點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，，試求拋物線的方程；

（Ⅱ）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，構(gòu)造直線交拋物線于不同兩點(diǎn)、，構(gòu)造直線、分別交準(zhǔn)線于、兩點(diǎn)，構(gòu)造直線、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點(diǎn)，恒有.請你證明這一結(jié)論．

（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌岸c(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年上海市松江區(qū)高三5月模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型：填空題

用一個不平行于底面的平面截一個底面直徑為40的圓柱，截得如圖幾何體，若截面橢圓的長軸為50，幾何體最短的母線長為70，則此幾何體的體積為   ▲   ．

 

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用一個不平行于底面的平面截一個底面直徑為40的圓柱，截得如圖幾何體，若截面橢圓的長軸為50，幾何體最短的母線長為70，則此幾何體的體積為   ▲   ．

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用一個不平行于底面的平面截一個底面直徑為40的圓柱，截得如圖幾何體，若截面橢圓的長軸為50，幾何體最短的母線長為70，則此幾何體的體積為   ▲  ．

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