Question

已知函數(shù)f（x）=2f′（1）e^x-1-x，e≈2.7．
（1）已知函數(shù)f（x）的解析式及單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x∈[

1

2

，+∞)，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）對f（x）求導(dǎo)，得f^′（x）=2f^′（1）e^x-1-1．
令x=1，得f^′（1）=2f^′（1）-1，解得f^′（1）=1．
從而f（x）=2e^x-1-x．
f^′（x）=2e^x-1-1．
f^′（x）＞0?2e^x-1-1＞0?x-1＞ln

1

2

?x＞1-ln2；
f^′（x）＜0?2e^x-1-1＜0?x＜1-ln2．
所以，f（x）的增區(qū)間為（1-ln2，+∞），減區(qū)間為（-∞，1-ln2）．
（2）當(dāng)x≥

1

2

時，

e

2

f(x)≥(a-

e

2

)x+1?

e

2

(2ex-1-x)≥(a-

e

2

)x+1
?e^x≥ax+1?a≤

ex-1

x

．
令g（x）=

ex-1

x

(x≥

1

2

)，則g′(x)=

(x-1)ex+1

x2

．
令h（x）=(x-1)ex+1(x≥

1

2

)，則h^′（x）=xe^x＞0．
所以，函數(shù)h（x）在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h(x)≥h(

1

2

)=1-

e

2

=

4 - e

2

＞0．
所以當(dāng)x≥

1

2

時，g′(x)=

h(x)

x2

＞0．
所以，g（x）=

ex-1

x

在[

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增.g(x)min=g(

1

2

)=2(

e

-1)．
由題意，a≤2(

e

-1)．
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2(

e

-1)．