Question

設(shè)a₁，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a₁，公差為d的等差數(shù){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₅S₆+15=0．
（Ⅰ）當(dāng)S₅=5時(shí)，若b_n=|a_n|，求b_n前n項(xiàng)和T_n
（Ⅱ）求d的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）根據(jù)附加條件，先求得s₆再求得a₆分別用a₁和d表示，再解關(guān)于a₁和d的方程組．
（II）所求問題是d的范圍，所以用“a₁，d”法．

解答： 解：（Ⅰ）由S₅=5和S₅S₆+15=0得S₆=-3．∴a₆=S₆-S₅=-8．（1分）∴

S5=5a1+10d=5 a6=a1+5d=-8

．
解得a₁=7，d=-3，∴a_n=10-3n．
由10-3n≥0得n≤

10

3

，
∴當(dāng)n≤3時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-

3

2

n2+

17

2

n，
當(dāng)n≥4時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=

3

2

n2-

17

2

n+24，
綜上T_n=

- 3 2 n2+ 17 2 n n≤3 3 2 n2- 17 2 n+24 n≥4

．
（Ⅱ）因?yàn)镾₅S₆+15=0，
所以（5a₁+10d）（6a₁+15d）+15=0，
整理得

a

2 1

+

9

2

a1d+5d2+

1

2

=0，
即(a1+

9d

4

)2=

d2

16

-

1

2

，
∵(a1+

9d

4

)2≥0，∴

d2

16

-

1

2

≥0，
解得d≤-2

2

或d≥2

2

，
∴d的取值范圍為（-∞，-2

2

]∪[2

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列概念、求和公式通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力及分析問題解決問題的能力．