Question

已知函數(shù)f（x）=

|x2-a2|

ex

，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，實數(shù)a＞0．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：函數(shù)f（x）的極值點（x≠±a）與原點連線的斜率之乘積為定值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,分段函數(shù)的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），然后求函數(shù)的導數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）的極值，利用導數(shù)的幾何意義即可得到結論．

解答： 解析：（1）f(x)=

x2-a2 ex ，x≤-a或x≥a - x2-a2 ex ，-a＜x＜a

…1分
①當x≤-a或x≥a時，f′(x)=(

x2-a2

ex

)′=-

x2-2x-a2

ex

，
令f′(x)=0，得x1=1-

1+a2

或x2=1+

1+a2

∵a＞0，∴-a＜1-

1+a2

，1+

1+a2

＞a
∴當a＜x＜1+

1+a2

時，f′(x)＞0
當x＜-a或x＞1+

1+a2

時，f′(x)＜0…4分
②當-a＜x＜a時，f′(x)=-(

x2-a2

ex

)′=

x2-2x-a2

ex

，
同①可知當-a＜x＜1-

1+a2

時，f′(x)＞0，當1-

1+a2

＜x＜a時，f′(x)＜0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a，1-

1+a2

)，(a，1+

1+a2

)，
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-a），(1-

1+a2

，a)，(1+

1+a2

，+∞)，…7分
法二、先求g(x)=

x2-a2

ex

，g′(x)=(

x2-a2

ex

)′=-

x2-2x-a2

ex

，
令g′(x)=0即-

x2-2x-a2

ex

=0，x1=1-

1+a2

，x2=1+

1+a2

當x＜x₁或x＞x₂時，g'（x）＜0，當x₁＜x＜x₂時，g'（x）＞0
∴g（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上單調(diào)遞減，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞增
將g（x）圖象在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方連同g（x）圖象原來在x軸上方的圖象得到f（x）的圖象
又g（-a）=g（a）=0，-a＜1-

1+a2

，1+

1+a2

＞a，及x＞x₂時，g（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-a，1-

1+a2

)，(a，1+

1+a2

)，
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-a），(1-

1+a2

，a)，(1+

1+a2

，+∞)，
（2）由（1）可知當x1=1-

1+a2

時，函數(shù)f（x）取極大值，
且f(1-

1+a2

)=

|(1- 1+a2 )2-a2|

e1- 1+a2

=

2( 1+a2 -1)

e1- 1+a2

可知當x2=1+

1+a2

時，函數(shù)f（x）取極大值，
且f(1+

1+a2

)=

|(1+ 1+a2 )2-a2|

e1+ 1+a2

=

2( 1+a2 +1)

e1+ 1+a2

…10分

∴x1x2=-a2，f（x₁）f（x₂）=f(1-

1+a2

)•f(1+

1+a2

)=

2( 1+a2 -1)

e1- 1+a2

×

2( 1+a2 +1)

e1+ 1+a2

=

4a2

e2

∴

f(x1)

x1

•

f(x2)

x2

=

f(x1)f(x2)

x1x2

=-

4

e2

為定值．…13分．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值和導數(shù)之間的關系，要求熟練掌握導數(shù)的應用，綜合性較強，運算量較大．