Question

已知函數(shù)f（x）=

1 4 x+1，x≤1 lnx，x＞1

則方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答： 解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=

1

x

，
設(shè)切點為（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切線方程為y-y₀=

1

x0

（x-x₀），
而切線過原點，∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直線l₁的斜率為

1

e

，
又∵直線l₂與y=

1

4

x+1平行，
∴直線l₂的斜率為

1

4

，
∴實數(shù)a的取值范圍是[

1

4

，

1

e

）
故答案為：[

1

4

，

1

e

）．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，是易錯題．