Question

已知x，y∈R⁺，且x+y=2，求

1

x

+

2

y

的最小值；給出如下解法：由x+y=2得2≥2

xy

①，即

1

xy

≥1②，又

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，由②③可得

1

x

+

2

y

≥2

2

，故所求最小值為2

2

．請(qǐng)判斷上述解答是否正確

不正確

，理由

①和③不等式不能同時(shí)取等號(hào)．

．

Answer 1

分析：利用均值不等式的性質(zhì)和成立的條件進(jìn)行判斷．

解答：解：不正確，
因?yàn)楫?dāng)

1

xy

≥1②，成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)．
而

1

x

+

2

y

≥2

2 xy

③，成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)

1

x

=

2

y

，即y=2x取等號(hào)，當(dāng)x=y=1時(shí)，y=2x不成立．
正確解法是：
因?yàn)閤+y=2，所以

x+y

2

=1，所以

1

x

+

2

y

=(

1

x

+

2

y

)?(

x

2

+

y

2

)=

1

2

+1+

x

y

+

y

2x

≥

3

2

+2

x y ? y 2x

=

3

2

+

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

x

y

=

y

2x

，即y2=2x2，y=

2

x時(shí)取等號(hào)．
故答案為：不正確，①和③不等式不能同時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，要求注意基本不等式成立的條件．