Question

9．已知x＞0，y＞0，2xy=x+4y+a
（1）當(dāng)a=6時(shí)，求xy的最小值；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，求$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可得出、
（2）利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出

解答 解：（1）當(dāng)a=6時(shí)，$2xy=x+4y+6≥4\sqrt{xy}+6$，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=6時(shí)，等號(hào)成立．
即${（\sqrt{xy}）^2}-2\sqrt{xy}-3≥0$，
∴$（\sqrt{xy}+1）（\sqrt{xy}-3）≥0$，
∴$\sqrt{xy}≥3$，
∴xy≥9，
∴xy的最小值為9．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，可得2xy=x+4y，
兩邊都除以2xy，得$\frac{1}{2y}+\frac{2}{x}=1$，
∴$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}=x+y+1=（x+y）（\frac{1}{2y}+\frac{2}{x}）+1=\frac{7}{2}+（\frac{x}{2y}+\frac{2y}{x}）≥\frac{7}{2}+2\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{2y}{x}}=\frac{11}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2y}=\frac{2y}{x}=1$，即x=3，$y=\frac{3}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$x+y+\frac{2}{x}+\frac{1}{2y}$的最值為$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．