Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a1+a2+…+an=

1

2

an+1-1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n-1個數(shù)組成一個公差為d_n的等差數(shù)列．
①設(shè)bn=

1

dn

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
②在數(shù)列{d_n}中是否存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

2

an+1-1(n∈N*)，得Sn+1=

1

2

an+2-1，兩式相減可得an+1=

1

2

(qan+1-an+1)，由此可求得q，由所給等式易求a₁，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可求得a_n；
（2）①由（1）可求a_n，a_n+1，根據(jù)a_n+1=a_n+nd_n，得d_n，利用錯位相減法可求得T_n；②假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，由等比中項得

d

2 k

=dm•dp，可得m，p，k的方程，又m，k，p成等差數(shù)列，得m+p=2k，由此可推得矛盾，得到結(jié)論；

解答：解：（1）由已知，Sn=

1

2

an+1-1(n∈N*)，得Sn+1=

1

2

an+2-1，（2分）
兩式相減得，an+1=

1

2

(qan+1-an+1)，即1=

1

2

（q-1），解得q=3，（4分）
又a1=

1

2

×q×a1-1，解得a₁=2，9（5分）
故an=2×3n-1．（6分）
（2）由（1），知an=2×3n-1，an+1=2×3n．
∵a_n+1=a_n+nd_n，∴dn=

4×3n-1

n

．…（7分）
①Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

=

1

4×30

+

2

4×31

+

3

4×32

+…+

n

4×3n-1

，…（8分）

1

3

Tn=

1

4×31

+

2

4×32

+

3

4×33

+…+

n

4×3n

，
∴

2

3

Tn=

1

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n

4×3n

=

1

4

×

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

4×3n

，…（10分）
故Tn=

9

16

-(

9

16

+

3n

8

)

1

3n

；…（11分）
②假設(shè)在數(shù)列{d_n}中存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則

d

2 k

=dm•dp，即(

4×3k-1

k

)2=

4×3m-1

m

•

4×3p-1

p

．                        …（13分）
∵m，k，p成等差數(shù)列，∴m+p=2k（*），代入上式得：k²=mp，（**）
由（*），（**），得m=p=k，這與題設(shè)矛盾．                             …（15分）
∴在數(shù)列{d_n}中不存在三項d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列．…（16分）

點評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列等比數(shù)列的綜合及數(shù)列求和問題，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點，要熟練掌握．