Question

(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.

（文）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）, 過點(diǎn)作一斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)(其中點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方) .

(1)求橢圓的方程；

(2)若，求的面積；

(3)設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）與共線，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明.

【解析】

試題分析：(1)由，得                                        ……2分

解得a²=2,b²=1,

所以，橢圓方程為.                                           ……4分

(2)設(shè)PQ:y=x-1，

由得3y²+2y-1=0,                                           ……6分

解得： P(),Q(0,-1)，

由條件可知點(diǎn),

所以=|FT||y₁-y₂|=.                                          ……10分

(3) 判斷：與共線.                                            ……11分

設(shè)

則(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂),                        ……12分

由得.                       ……13分

(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)=(x₂-x₁)k(x₂-1)-(x₂-2)(kx₁-k+kx₂-k)

=3k(x₁+x₂)-2kx₁x₂-4k=3k-2k-4k

=k()=0.                                          ……15分

所以，與共線.                                                ……16分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系的判定和應(yīng)用以及向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和思維的嚴(yán)密性.

點(diǎn)評(píng)：高考中圓錐曲線的題目一般難度較大，而且一般運(yùn)算量較大，要仔細(xì)運(yùn)算，更要結(jié)合圖形數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化求解過程.