Question

若(

x

+

1

2 4 x

)n展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（1）展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；
（2）展開(kāi)式中的有理項(xiàng)；
（3）展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）由展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求得n=8．求得展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=2^-r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．再令x的冪指數(shù)等于1，求得 r的值，可得展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)．
（2）令x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．
（3）設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

C k-1 8 •2-k+1 ≥C k 8 •2-k C k-1 8 •2-k+1 ≥C k-1 8 •2-k+2

，解得k的范圍，再結(jié)合通項(xiàng)公式以及k為整數(shù)，求得展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）由題意可得

C

0 n

+

C

2 n

•

1

4

=2•

C

1 n

•

1

2

，解得n=8．
故展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•2^-r•x-

r

4

=2^-r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．
令

16-3r

4

=1，求得 r=4，故展開(kāi)式中含x的一次冪的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

4 8

=70．
（2）令

16-3r

4

為整數(shù)，可得 r=0，4，8，
當(dāng) r=0時(shí)，T₁=x⁴； 當(dāng) r=4時(shí)，T₅=

35

8

x； 當(dāng) r=8時(shí)，T₉=

1

256

•x^-2．
（3）設(shè)第k項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

C k-1 8 •2-k+1 ≥C k 8 •2-k C k-1 8 •2-k+1 ≥C k-1 8 •2-k+2

，解得 3≤k≤4，
故系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)T₃=7x

5

2

 和 第四項(xiàng)T₄=7x

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．