Question

已知二次函數(shù)+的圖象通過原點，對稱軸為，．是的導函數(shù)，且 ．
（1）求的表達式（含有字母）；
（2）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）條件下，若，，是否存在自然數(shù)，使得當時恒成立?若存在，求出最小的；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在自然數(shù)M=4，使得當n＞M時n•2ⁿ⁺¹-S_n＞50恒成立．

解析試題分析：（1）利用二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象通過原點，對稱軸為x=-2n，（n∈N^*）．是f（x）的導函數(shù)，且，可求f（x）的表達式（含有字母n）；
（2）由（１）可得，從而有，利用疊加法：，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由(2)可知，它是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項的積構成的一個新的數(shù)列，這種數(shù)列的前n項和可利用兩邊同時乘公比相減的錯位相減法求和先求出，然后就可將不等式恒成立轉化為只含n的不等式恒成立問題，即可得出結論．
試題解析：（1）由已知，可得，，         1分
∴ 解之得，       3分
                4分
（2）                      5分

=        8分
（3）
                     10分
    （1）
     （2）
（1）—（2）得：   … 12分
=，即，當時，  … 13分
，使得當時，恒成立         14分
考點：１．數(shù)列的通項與求和；2．恒成立問題；3．數(shù)列與函數(shù)的綜合．