Question

已數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+2=（1+2|cos

nπ

2

|）a_n+|sin

nπ

2

|，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{a_2k}（k∈N^*）為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）b_n=

1

a2n

+（-1）^n-1•（

1

4

）a_2n-1，{b_n}的前n項和為S_n，求證S_n＜

23

30

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）令n=2k得a_2k+2=3a_2k，即可證明數(shù)列{a_2k}（k∈N^*）為等比數(shù)列；
（2）a2k=3k，利用a_2k+1=a_2k-1+1，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）放縮，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可證明結(jié)論．

解答： （1）證明：令n=2k得a_2k+2=3a_2k
又a₂=3≠0
∴{a_2k}為等比數(shù)列（3分）
（2）解：a2k=3k
又a_2k+1=a_2k-1+1=a_2k-3+2=…=a₁+k=k+1
∴an=

n+1 2   (n為奇數(shù)) 3 n 2      (n為偶數(shù))

（7分）
（3）證明：bn=

1

3n

+(-1)n-1 • (

1

4

)n=

1 3n + 1 4n          (n為奇數(shù)) 1 3n - 1 4n ＜ 1 3n   (n為偶數(shù))

∴Sn＜

1

31

+

1

41

+

1

32

+

1

33

+

1

43

+

1

34

+…+

1

3n

+

1

4n

＜

1 3

1- 1 3

+

1 4

1- 1 42

=

1

2

+

4

15

=

23

30

（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．