Question

19．已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）與拋物線(xiàn)y²=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，且兩曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為P，若|PF|=5，則點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn)求得p和c的關(guān)系，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可以求出P的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)方程與p=2c，b²=c²-a²，解得a，b，得到漸近線(xiàn)方程，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算即可得到．

解答 解：∵拋物線(xiàn)y²=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2，0），p=4，
拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)相同，
∴p=2c，即c=2，
∵設(shè)P（m，n），由拋物線(xiàn)定義知：
|PF|=m+$\frac{p}{2}$=m+2=5，∴m=3．
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，$±2\sqrt{6}$）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=4}\\{\frac{9}{{a}^{2}}-\frac{24}{^{2}}=1}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
則漸近線(xiàn)方程為y=$±\sqrt{3}$x，
即有點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)的距離為
d=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)，拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．解答關(guān)鍵是利用性質(zhì)列出方程組．