Question

11．已知三棱錐P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=$\sqrt{3}$AB，若三棱錐P-ABC的體積為$\frac{3}{2}$，則該三棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． 8$\sqrt{3}$π
• B． 6$\sqrt{3}$π
• C． 4$\sqrt{3}$π
• D． 2$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 如圖所示，由于三棱錐P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱錐P-ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC．而2AC=$\sqrt{3}$AB，可得BC=x，AC=$\sqrt{3}$x．利用三棱錐的體積計算公式可得x，再利用球的體積計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，
∵三棱錐P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，
∴PO是三棱錐P-ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵2AC=$\sqrt{3}$AB，
∴∠ABC=60°，
∴BC=x，AC=$\sqrt{3}$x．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}•{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}{x}^{2}×x$=$\frac{3}{2}$，
解得x=$\sqrt{3}$．
∴該三棱錐的外接球的體積V=$\frac{4π}{3}{x}^{3}$=$4\sqrt{3}π$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式、球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．