Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
（1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}，求a的值；
（2）若x＜0，a=4，求函數(shù)g（x）的最大值；
（3）若對任意x∈[1，+∞），不等式g（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}知，a和1是方程x²+2x+a=0的根，代人求a
（2）利用a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b為正數(shù)）定理，對式子變形求解
（3）等價(jià)轉(zhuǎn)換，把恒成立問題轉(zhuǎn)換成最值問題解決

解答 解：由題知f（1）=0，
∴1+2+a=0
∴a=-3
（2）g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0
∴-x+$\frac{4}{-x}$≥4
∴x+$\frac{4}{x}$+2≤-2
故g（x）的最大值為-2
（3）g（x）＞0恒成立 x∈[1，+∞）
∴f（x）=x²+2x+a＞0恒成立 x∈[1，+∞）
∴a＞-（x²+2x）恒成立
令h（x）=-（x²+2x）
∴h（x）≤h（1）=-3
∴a＞-3

點(diǎn)評 考察了不等式與方程的關(guān)系，兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)定理和恒成立問題．