Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求證：T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n²，利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，利用錯位相減法能證明T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，
∴a₁=S₁=1，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
n=1時，成立，
∴a_n=2n-1．
（2）證明：∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+\frac{5}{{3}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}+\frac{5}{{3}^{4}}+…+\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{1}{3}+\frac{\frac{2}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{2}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}-\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的證明，是中檔題，解題時要注意錯位相減法的合理運用．