Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)．點(diǎn)是曲線C1，C2在第一象限的交點(diǎn)，且．

（1）求雙曲線交點(diǎn)及另一交點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求雙曲線的方程；

（3）以為圓心的圓M與直線相切，圓N：，過點(diǎn)P（1，）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線和，設(shè)被圓M截得的弦長為s，被圓N截得的弦長為t，問：是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）、，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或；（2）；（3）為定值.說明如下：設(shè)圓M的方程為：，因?yàn)閳AM與直線相切，所以圓M的半徑為.故圓M: .顯然，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，

所以直線的斜率存在，設(shè)的方程為，即.

設(shè)的方程為，即.

所以點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線被圓M截得的弦長，直線被圓M截得的弦長，所以.

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)能求出雙曲線交點(diǎn)及另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，由拋物線定義能求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出雙曲線的方程；（3）設(shè)圓M的方程為：，設(shè)直線的方程為，設(shè)的方程為，由此利用點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出是定值.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720065241941688/SYS201411172007004666208021_DA/SYS201411172007004666208021_DA.024.png">的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)為、.設(shè)，由點(diǎn)在拋物線上，且，由拋物線的定義得，，即，所以，即，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.

（2）由題意知，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720065241941688/SYS201411172007004666208021_DA/SYS201411172007004666208021_DA.034.png">點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得：

，即，所以，故雙曲線的方程為：.

（3）為定值.說明如下：

設(shè)圓M的方程為：，因?yàn)閳AM與直線相切，所以圓M的半徑為.故圓M: .顯然，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，

所以直線的斜率存在，設(shè)的方程為，即.

設(shè)的方程為，即.

所以點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線被圓M截得的弦長，直線被圓M截得的弦長，所以.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題．