Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R)，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，且a＞2c＞b．
（I）判斷a，b的符號；
（II）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)
（III如果函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[m，n]，求n-m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，可知f′(1)=-

a

2

，得到a、b、c的等量關(guān)系，然后利用不等式中的放縮法可判定a與b的符號；
（2）由①得f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，討論c的符號，當(dāng)c≤0時(shí)f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0則f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)c＞0，f'（1）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0，則f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)，從而證得結(jié)論；
（3）由①得2c=-3a-2b，然后消去c可求出

b

a

的取值范圍，根據(jù)題意可知m，n為f'（x）=0的兩根，將n-m用

b

a

表示，然后根據(jù)

b

a

的取值范圍可求出n-m的取值范圍．

解答：.解：（1）∵f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx(a，b，c∈R)，
∴f′（x）=ax²+bx+c
∵f′(1)=-

a

2

∴a+b+c=-

a

2

即3a+2b+2c=0①（1分）
又∵a＞2c＞b，
∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a，3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b，
結(jié)合①得a＞0，且b＜0（3分）
（2）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
1°當(dāng)c≤0時(shí)，∵a＞0∴f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0
∴f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)． （5分）
2°當(dāng)c＞0，∵a＞0∴f'（1）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)． （8分）
綜合1°和2°得，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)極值點(diǎn)．
（3）由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0，∴1＞-3-2•

b

a

＞

b

a

∴-2＜

b

a

＜-1②（9分）
∵a＞0，f'（x）為二次函數(shù)，所以m，n為f'（x）=0的兩根，
則m+n=-

b

a

③mn=

c

a

=-

3

2

-

b

a

④（10分）
由③④得n-m=

(m+n)2-4mn

=

( b a +2)2+2

由②得

2

＜n-m＜

3

，
即n-m的取值范圍是(

2

，

3

)（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及放縮法應(yīng)用和函數(shù)的值域，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．