Question

已知等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，a₃=7，其前n項和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=2，且b₂S₂=32．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）若

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由已知求得等差數(shù)列的公差，代入等差數(shù)列的通項公式求解，再由b₂S₂=32求得等比數(shù)列的公比，則等比數(shù)列的通項公式可求；
（2）求出等差數(shù)列的前n項和，然后由裂項相消法求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

，問題等價于f（x）=x²+ax+1
的最小值大于或等于

3

4

，由此列式求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
由2d=a₃-a₁=7-3=4，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
設(shè){b_n}的公比為q，
則b₂=2q，
又S₂=a₁+a₂=3+5=8，
代入b₂S₂=32，得
16q=32，即q=2．
∴bn=2n；
（2）Sn=3n+

n(n-1)×2

2

=n(n+2)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

＜

3

4

，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

≤x²+ax+1對任意正整數(shù)n和任意x∈R恒成立，等價于
f（x）=x²+ax+1的最小值大于或等于

3

4

，
即1-

a2

4

≥

3

4

，即a²≤1，解得-1≤a≤1．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求法，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．