Question

選修4­2：矩陣與變換
已經(jīng)矩陣M＝．
(1)求直線4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值與特征向量．

Answer 1

(1) ．
(2)當(dāng)λ₁＝4時(shí)，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
當(dāng)λ₂＝5時(shí)，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．

本試題主要是考查了矩陣的運(yùn)算，以及特征向量的求解和特征多項(xiàng)式的表示的綜合運(yùn)用。
（1）因?yàn)?i>M＝．設(shè)直線上任意一點(diǎn)在作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則  ＝ ，
（2）因?yàn)榫仃?i>M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，進(jìn)而討論得到特征向量。
(1)因?yàn)?i>M＝． 設(shè)直線上任意一點(diǎn)在作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則  ＝ ，………………………………………………………………２分
即，所以，代入，得，即，
所以所求曲線的方程為．……………………………………………………………4分
(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，
所以M的特征值為λ₁＝4，λ₂＝5． …………………………………………………………6分
當(dāng)λ₁＝4時(shí)，由Mα₁＝λ₁α₁，得特征向量α₁＝；
當(dāng)λ₂＝5時(shí)，由Mα₂＝λ₂α₂，得特征向量α₂＝．…………………………………………10分