【題目】已知, , .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記,設(shè), 為函數(shù)圖象上的兩點,且.
(i)當時,若在, 處的切線相互垂直,求證: ;
(ii)若在點, 處的切線重合,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)先求函數(shù)導數(shù),轉(zhuǎn)化為研究導函數(shù)零點,即方程=0的根的情況,當,導函數(shù)不變號,在上單調(diào)遞減,當時,有兩個不等根,列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,確定對應(yīng)單調(diào)區(qū)間,(2)(i)利用導數(shù)幾何意義化簡條件: 在, 處的切線相互垂直,得,利用基本不等式證明不等式,(ii)先分別求出切線方程,再根據(jù)切線重合得,消元得,利用導數(shù)研究函數(shù), 單調(diào)性,確定函數(shù)值域,進而確定的取值范圍.
試題解析:解:(1),則,
當即時, , 在上單調(diào)遞減,
當時即時, ,
此時在和上都是單調(diào)遞減的,在上是單調(diào)遞增的;
(2)(i),據(jù)題意有,又,
則且, ,
法1: ,
當且僅當即, 時取等號.
法2: , ,
當且僅當時取等號.
(ii)要在點處的切線重合,首先需要在點處的切線的斜率相等,
而時, ,則必有,即, ,
處的切線方程是:
處的切線方程是: ,
即,
據(jù)題意則, ,
設(shè), , ,
設(shè), 在上恒成立,
則在上單調(diào)遞增,
則, 在上單調(diào)遞增,
則,再設(shè), ,
, 在上單調(diào)遞增, ,
則在恒成立,
即當時, 的值域是,
故,即為所求.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c滿足:cosAcosC+sinAsinC+cosB= ,且a,b,c成等比數(shù)列,
(1)求角B的大;
(2)若 + = ,a=2,求三角形ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列判斷正確的是( )
A.a=7,b=14,A=30°,有兩解
B.a=30,b=25,A=150°,有一解
C.a=6,b=9,A=45°,有兩解
D.a=9,b=10,A=60°,無解
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, 為常數(shù)),函數(shù)(為自然對數(shù)的底).
(1)討論函數(shù)的極值點的個數(shù);
(2)若不等式對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ,an= (n≥2,n∈N).
(1)試判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列,并說明理由;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn;
(3)設(shè)cn=ansin ,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn . 求證:對任意的n∈N* , Tn< .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?”題意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半.”如果墻足夠厚,為前天兩只老鼠打洞之和,則_________________尺.
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