【題目】已知函數(shù)(, 為常數(shù)),函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底).
(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)詳見解析(2)
【解析】試題分析:(1)求得 ,分三種情況討論,分別研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)不等式對(duì)恒成立,等價(jià)于只需研究函數(shù)的最小值不小于零即可.
試題解析:(1) ,
由得: ,記,則,
由得,且時(shí), , 時(shí), ,
所以當(dāng)時(shí), 取得最大值,又,
(i)當(dāng)時(shí), 恒成立,函數(shù)無極值點(diǎn);
(ii)當(dāng)時(shí), 有兩個(gè)解, ,且時(shí), , 時(shí), , 時(shí), ,所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);
(iii)當(dāng)時(shí),方程有一個(gè)解,且時(shí), 時(shí), ,所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn);
(2)記 ,
由,
, ,
由,
又當(dāng), 時(shí), ,
, 在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以恒成立,即恒成立,
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題,屬于難題.不等式恒成立問題常見方法:① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立(即可);② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可);③ 討論最值或恒成立;④ 討論參數(shù).本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)在橢圓上上,若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱,連接,并延長(zhǎng)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,連接,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a3 , a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng),試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, , .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記,設(shè), 為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.
(i)當(dāng)時(shí),若在, 處的切線相互垂直,求證: ;
(ii)若在點(diǎn), 處的切線重合,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋子中有四個(gè)小球,分別寫有“幸”“福”“快”“樂”四個(gè)字,有放回地從中任取一個(gè)小球,取到“快”就停止,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)直到第二次停止的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),且用1,2,3,4表示取出小球上分別寫有“幸”“福”“快”“樂”四個(gè)字,以每?jī)蓚(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表兩次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):
13 24 12 32 43 14 24 32 31 21
23 13 32 21 24 42 13 32 21 34
據(jù)此估計(jì),直到第二次就停止的概率為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】袋中有五張卡片,其中紅色卡片三張,標(biāo)號(hào)分別為1,2,3;藍(lán)色卡片兩張,標(biāo)號(hào)分別為1,2.
(1)從以上五張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率;
(2)現(xiàn)袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片,從這六張卡片中任取兩張,求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線 (a>0,b>0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點(diǎn)P,F是雙曲線的右焦點(diǎn).
(1)求證:PF⊥l;
(2)若PF=3,且雙曲線的離心率e=,求該雙曲線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)某種水杯,每個(gè)水杯的原材料費(fèi)、加工費(fèi)分別為30元、m元(m為常數(shù),且2≤m≤3),設(shè)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為x元(35≤x≤41),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,水杯的日銷售量與ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))成反比例,已知每個(gè)水杯的出廠價(jià)為40元時(shí),日銷售量為10個(gè).
(1)求該工廠的日利潤(rùn)y(元)與每個(gè)水杯的出廠價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每個(gè)水杯的出廠價(jià)為多少元時(shí),該工廠的日利潤(rùn)最大,并求日利潤(rùn)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5個(gè)工時(shí);生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3個(gè)工時(shí),生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg,乙材料90 kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為________________元.
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