Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωx（sinωx+cosωx）-1（ω＞0），且y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

•
（1）求ω的值．
（2）求f（x）在[0，

π

2

]與上的最大值和最小值及取最大值、最小值時(shí)相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用已知求出周期，根據(jù)周期公式即可求出ω的值；
（2）由（1）確定出f（x）解析式，根據(jù)x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的值域，即可求出最大值與最小值，以及此時(shí)x的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin²ωx+sin2ωx-1=sin2ωx-cos2ωx=

2

sin（2ωx-

π

4

），
∵y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為

π

4

，ω＞0，
∴f（x）的周期為4×

π

4

=π，即T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴-1≤

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

，
當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，f（x）在[0，

π

2

]上取得最大值為

2

；
當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，f（x）在[0，

π

2

]上取得最小值為-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．