Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a，點(diǎn)M在線段EF上．
（1）求證：BC⊥平面ACFE；
（2）當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論；
（3）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我們易求出AC⊥BC，結(jié)合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面與平面垂直的性質(zhì)定理，即可得到BC⊥平面ACFE．
（2）以點(diǎn)ABC-A₁B₁C₁為原點(diǎn)，△ABC所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，看出AM∥平面BDF等價(jià)于與、共面，也等價(jià)于存在實(shí)數(shù)m、n，使=m+n，根據(jù)向量之間的關(guān)系得到結(jié)論．
（3）要求兩個(gè)平面所成的角，根據(jù)向量的加減運(yùn)算做出平面的法向量，二面角B-EF-D的大小就是向量與向量所夾的角．根據(jù)向量的夾角做出結(jié)果．
解答：證明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE
解：（2）當(dāng)時(shí)，AM∥平面BDF，
以點(diǎn)ABC-A₁B₁C₁為原點(diǎn)，△ABC所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
AM∥平面BDF?與、共面，也等價(jià)于存在實(shí)數(shù)m、n，使=m+n，
設(shè)．
∵=（-a，0，0），，0，0）
∴=+=（-at，0，0）
又=（a，-a，-a），=（0，a，-a），
從而要使得：成立，
需，解得∴當(dāng)時(shí)，AM∥平面BDF
（3B（0，a，0），，
過D作DG⊥EF，垂足為G．令==λ（a，0，0），
=+=（aλ，0，a），=-=（λa-a，a，a）
由得，，
∴
∴，即
∵BC⊥AC，AC∥EF，
∴BC⊥EF，BF⊥EF
∴二面角B-EF-D的大小就是向量與向量所夾的角．
∵=（0，a，-a）
cos＜，＞=，即二面角B-EF-D的平面角的余弦值為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求平面間的夾角和線面之間的關(guān)系問題，本題解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出要用的空間向量，把立體幾何的理論推導(dǎo)變成數(shù)字的運(yùn)算，這是新課標(biāo)高考卷中常見的一種題目．