Question

已，且函數(shù)f（x）在處取得極值．
（ I）求f（x）的解析式與單調(diào)區(qū)間；
（ II）是否存在實數(shù)m，對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I），得a=-1，
且，b=0，則
；
；
∴；
遞減區(qū)間為

（ II）由（1）得

x	-1	（-1，）		（，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增		減		增

所以當(dāng)x₁∈[1，2]時，≤f（x₁）≤，≤3f（x₁）≤…（10分）
假設(shè)對任意的x₁∈[-1，2]時都存在x₀∈[0，1]時使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
設(shè)g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則要求，
又g'（x）=x²+m²，所以當(dāng)x₀∈[0，1]時時，
且，．
綜上，；
分析：（I）已知f（x）的解析式，對f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在處取得極值可得f′（）=0，f（）=，可以得到f（x）的解析式，然后利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）假設(shè)存在，則由（I）已知f（x）的單調(diào)區(qū)間，當(dāng)x₁∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，進而求出3f（x）的范圍，對于g（x）進行求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)其為增函數(shù)，從而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后進行判斷；
點評：此題是關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合題，考查的知識點比較全面，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，是一道難題；