【題目】某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路, 以所在的直線分別為軸,軸, 建立平面直角坐標系, 如圖所示, 山區(qū)邊界曲線為,設公路與曲線相切于點,的橫坐標為.
(1)當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;
(2)當公路的長度最短時,設公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應開鑿的隧道的長度.
【答案】(1)當時,公路的長度最短為千米;(2)(千米).
【解析】
(1)設切點的坐標為,利用導數的幾何意義求出切線的方程為,根據兩點間距離得出,構造函數,利用導數求出單調性,從而得出極值和最值,即可得出結果;
(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根據勾股定理即可求出的長度.
(1)由題可知,設點的坐標為,
又,
則直線的方程為,
由此得直線與坐標軸交點為:,
則,故,
設,則.
令,解得=10.
當時,是減函數;
當時,是增函數.
所以當時,函數有極小值,也是最小值,
所以, 此時.
故當時,公路的長度最短,最短長度為千米.
(2) 在中,,,
所以,
所以,
根據正弦定理
,
,
,
,
又,
所以.
在中,,,
由勾股定理可得,
即,
解得,(千米).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(1)解關于的不等式:;
(2)當時,過點是否存在函數圖象的切線?若存在,有多少條?若不存在,說明理由;
(3)若是使恒成立的最小值,試比較與的大小().
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知平面向量,滿足:||=2,||=1.
(1)若(2)()=1,求的值;
(2)設向量,的夾角為θ.若存在t∈R,使得,求cosθ的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,分別過橢圓左、右焦點的動直線相交于點,與橢圓分別交于與不同四點,直線的斜率滿足.已知當與軸重合時,,.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在定點,使得為定值?若存在,求出點坐標并求出此定值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),和.
【解析】試題分析:(1)當與軸重合時,垂直于軸,得,得,從而得橢圓的方程;(2)由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,所以把坐標化,可得點的軌跡是橢圓,從而求得定點和點.
試題解析:當與軸重合時,, 即,所以垂直于軸,得,,, 得,橢圓的方程為.
焦點坐標分別為, 當直線或斜率不存在時,點坐標為或;
當直線斜率存在時,設斜率分別為, 設由, 得:
, 所以:,, 則:
. 同理:, 因為
, 所以, 即, 由題意知, 所以
, 設,則,即,由當直線或斜率不存在時,點坐標為或也滿足此方程,所以點在橢圓上.存在點和點,使得為定值,定值為.
考點:圓錐曲線的定義,性質,方程.
【方法點晴】本題是對圓錐曲線的綜合應用進行考查,第一問通過兩個特殊位置,得到基本量,,得,,從而得橢圓的方程,第二問由題目分析如果存兩定點,則點的軌跡是橢圓或者雙曲線 ,本題的關鍵是從這個角度出發(fā),把坐標化,求得點的軌跡方程是橢圓,從而求得存在兩定點和點.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知,,.
(Ⅰ)若,求的極值;
(Ⅱ)若函數的兩個零點為,記,證明:.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】我區(qū)的中小學辦學條件在政府的教育督導下,迅速得到改變.督導一年后.分別隨機抽查了高中(用表示)與初中(用表示)各10所學校.得到相關指標的綜合評價得分(百分制)的莖葉圖如圖所示.則從莖葉圖可得出正確的信息為(80分及以上為優(yōu)秀)( )
①高中得分與初中得分的優(yōu)秀率相同
②高中得分與初中得分的中位數相同
③高中得分的方差比初中得分的方差大
④高中得分與初中得分的平均分相同
A.①②B.①③C.②④D.③④
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