【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線的切線方程為,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)根據(jù)解析式求得導函數(shù),設(shè)切點坐標為,結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導函數(shù)求得有最小值,進而可知由唯一零點,即可代入求得的值;
(2)將解析式代入,結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點;求得并令求得極值點,列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個交點時的取值范圍.
(1)依題意,,,
設(shè)切點為,,
故,
故,則;
令,,
故當時,,
當時,,
故當時,函數(shù)有最小值,
由于,故有唯一實數(shù)根0,
即,則;
(2)由,得.
所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”;
由于.
由,解得,.
當變化時,與的變化情況如下表所示:
3 | |||||
0 | + | 0 | |||
極小值 | 極大值 |
所以在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
又因為,,
,,
故當或時,直線與曲線在上有兩個交點,
即當或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路,以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路, 以所在的直線分別為軸,軸, 建立平面直角坐標系, 如圖所示, 山區(qū)邊界曲線為,設(shè)公路與曲線相切于點,的橫坐標為.
(1)當為何值時,公路的長度最短?求出最短長度;
(2)當公路的長度最短時,設(shè)公路交軸,軸分別為,兩點,并測得四邊形中,,,千米,千米,求應開鑿的隧道的長度.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)對設(shè)備進行升級改造,現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項質(zhì)量指標值,該項質(zhì)量指標值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則視為不合格品,如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖,下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.
圖:設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖
表:設(shè)備改造后樣本的頻率分布表
質(zhì)量指標值 | ||||||
頻數(shù) | 2 | 18 | 48 | 14 | 16 | 2 |
(1)求圖中實數(shù)的值;
(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,對合格品進行等級細分,質(zhì)量指標值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品,每件售價240元;質(zhì)量指標值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品,每件售價180元;其他的合格品定為三等品,每件售價120元,根據(jù)表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品支付的費用為(單位:元),求的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著智能手機的普及,手機計步軟件迅速流行開來,這類軟件能自動記載每日健步走的步數(shù),從而為科學健身提供了一定幫助.某企業(yè)為了解員工每日健步走的情況,從該企業(yè)正常上班的員工中隨機抽取300名,統(tǒng)計他們的每日健步走的步數(shù)(均不低于4千步,不超過20千步).按步數(shù)分組,得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求這300名員工日行步數(shù)(單位:千步)的樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表,結(jié)果保留整數(shù));
(2)由直方圖可以認為該企業(yè)員工的日行步數(shù)(單位:千步)服從正態(tài)分布,其中為樣本平均數(shù),標準差的近似值為2,求該企業(yè)被抽取的300名員工中日行步數(shù)的人數(shù);
(3)用樣本估計總體,將頻率視為概率.若工會從該企業(yè)員工中隨機抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象,規(guī)定:日行步數(shù)不超過8千步者為“不健康生活方式者”,給予精神鼓勵,獎勵金額為每人0元;日行步數(shù)為8~14千步者為“一般生活方式者”,獎勵金額為每人100元;日行步數(shù)為14千步以上者為“超健康生活方式者”,獎勵金額為每人200元.求工會慰問獎勵金額(單位:元)的分布列和數(shù)學期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.
從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;
試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為時看作銷量為瓶).
①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,求和的分布列和數(shù)學期望;
②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?
注:銷售額=銷量×定價;利潤=銷售額-批發(fā)成本.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓:,為左、右焦點,為短軸端點,且,離心率為,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程,
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點,,且滿足?若存在,求出該圓的方程,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】十二生肖,又稱十二屬相,中國古人拿十二種動物來配十二地支,組成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、已蛇、午馬、未羊、申猴、西雞、戌狗、亥豬十二屬相現(xiàn)有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同學依次隨機抽取一件作為禮物,甲同學喜歡馬、牛,乙同學喜歡馬、龍、狗,丙同學除了鼠不喜歡外其他的都喜歡,則這三位同學抽取的禮物都喜歡的概率是_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為4,直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓的右頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于兩點(點不同于橢圓的右頂點),證明:直線過定點.
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