Question

已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對(duì)于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．給出下列命題：
①f（-3）=0；
②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號(hào)為

 

．（把所有正確命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由于f（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3可得f（-3）=0；
②利用函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，f（-3）=0，f（x+6）=f（x）+f（3）可得f（x）是以6為周期的函數(shù)，繼而有f（-6-x）=f（-6+x），從而可判斷②；
③當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，⇒f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，而y=f（x）是R上的偶函數(shù)，于是f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，再利用其周期為6，即可得到函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，從而可判斷③；
④利用①②③可知f（-3）=f（3）=0，f（-9）=f（9）=0，且只有這四解，從而可判斷④．

解答： 解：①∵y=f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x），又f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），即f（3）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，即①正確；
②∵f（-3）=0，∴f（3）=f（-3）=0，∴f（x+6）=f（x）+f（3）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數(shù)，又f（-x）=f（x），
∴f（-x-6）=f（-6+x）
∴直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱軸，即②正確；
③∵當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂時(shí)，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，而y=f（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（x）在[-3，0]上是減函數(shù)，又其周期為6，
∴函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
④由①③知，f（3）=f（-3）=0，f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，∴[0，3]上只有一解為3，由對(duì)稱性知，f（x）在[-3，0]只有一解為-3，
又其周期為6，∴f（x）在[3，6]上是減函數(shù)，在[6，9]上是增函數(shù)，在[-6，-3]上是增函數(shù)，在[-9，-6]上為減函數(shù)；
∵f（x）關(guān)于x=6對(duì)稱，∴f（x）在[3，6]上只有一解為3，
∴由對(duì)稱性知f（x）在[6，9]上只有一解為9，在區(qū)間[-6，-3]只有一解-3；
綜上所述，只有四解，為-9，-3，3，9，故④正確．
∴所有正確命題的序號(hào)為①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性的綜合應(yīng)用，考查分析、運(yùn)算、推理及思維能力，屬于難題．