已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x-1)
x-a
(a為常數(shù)),x=2是函數(shù)f(x)的一個極值點.
(Ⅰ)求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)如果當x≥2時,不等式f(x)≥
m
x
恒成立,求實數(shù)m的最大值;
(Ⅲ)求證:n-2(
1
2
+
2
3
+
3
4
+…+
n
n+1
)<ln(n+1)
考點:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)由題意得:f(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2
,由x=2是函數(shù)f(x)的一個極值點,得f′(2)=0,解得:a=1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=
1+ln(x-1)
x-1
,定義域為(1,+∞),得問題等價于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1
在[2,+∞)上恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
,則g′(x)=
x-1-ln(x-1)
(x-1)2
,令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′(x)=
x-2
x-1
,得h(x)≥h(2)=1>0,從而g(x)在[2,+∞)遞增,進而求出m的范圍.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:x≥2時,f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,令x-1=
k+1
k
,得n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(
2
1
×
3
2
×…×
n+1
n
),即n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(n+1).
解答: 解:(Ⅰ)由題意得:f(x)=
x-a
x-1
-1-ln(x-1)
(x-a)2

∵x=2是函數(shù)f(x)的一個極值點,
∴f′(2)=0,解得:a=1,
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=
1+ln(x-1)
x-1
,定義域為(1,+∞),
∴問題等價于m≤x•
1+ln(x-1)
x-1
在[2,+∞)上恒成立,
構(gòu)造函數(shù)g(x)=x•
1+ln(x-1)
x-1
,則g′(x)=
x-1-ln(x-1)
(x-1)2
,
令h(x)=x-1-ln(x-1),則h′(x)=
x-2
x-1
,
∴x≥2時,h′(x)>0,h(x)在[2,+∞)遞增,
∴h(x)≥h(2)=1>0,
∴g′x)>0,
∴g(x)在[2,+∞)遞增,
∴g(x)min=g(2)=2,∴m≤2,

∴實數(shù)m的最大值為2;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得:x≥2時,f(x)≥
2
x
,即
1+ln(x-1)
x-1
2
x
,
整理得ln(x-1)≥1-
2
x
>1-
2
x-1

令x-1=
k+1
k
,則1-
2
x-1
=1-2
k
k+1

即ln
k+1
k
>1-2
k
k+1
,
k=1時,1-2×
1
2
<ln
2
1
,
k=2時,1-2×
2
3
<ln
3
2
,
…,
k=n時,1-2
n
n+1
<ln
n+1
n
,
將以上不等式兩端分別相加得:
n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(
2
1
×
3
2
×…×
n+1
n
),
即n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)<ln(n+1).
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最值問題,求參數(shù)的范圍問題,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
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