Question

如圖所示的幾何體中，PB⊥平面ABC，PQ∥AB，PQ=PB=1，AB=BC=

1

2

，∠ABC=90°，M∈PB，N∈PC．
（1）求QC與平面ABC所成角的正弦值．
（2）若QC⊥平面AMN，求線段MN的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出QC與平面ABC所成角θ的正弦值．
（2）設(shè)M（0，0，t），利用向量法能求出線段MN的長度．

解答： 解：（1）以B為原點(diǎn)，分別以BA，BC，BP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

1

2

，0，0），B（0，0，0），
C（0，

1

2

，0），P（0，0，1），
Q（1，0，1）．
由題設(shè)知

BP

為平面ABC的一個(gè)法向量，
又

CQ

=（1，-

1

2

，1），

BP

=（0，0，1），
∴QC與平面ABC所成角θ的正弦值：
sinθ=|cos＜

CQ

，

BP

＞|=

1

2+ 1 4

=

2

3

．
（2）∵M(jìn)在直線PB上，∴設(shè)M（0，0，t），
則

AM

=（-

1

2

，0，t）．
∵

CQ

•

AM

=-

1

2

+t=0，∴t=

1

2

，
即M（0，0，

1

2

），設(shè)

PN

=λ

PC

，N（x，y，z）．
∵

PN

=（x，y，z-1），

PC

=（0，

1

2

，-1），
∴x=0，y=

1

2

λ，z-1=-λ，∴N（0，

1

2

λ，1-λ），

AN

=（-

1

2

，

1

2

λ，1-λ）．
由

CQ

•

AN

=-

1

2

-

1

4

λ+1-λ=

1

2

-

5

4

λ=0，
得λ=

2

5

，故N(0，

1

5

，

3

5

)．
∴MN=

(0-0)2+( 1 5 -0)2+( 3 5 - 1 2 )2

=

5

10

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查線段長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．