Question

如圖，正方形A₁BA₂C的邊長為4，D是A₁B的中點(diǎn)，E是BA₂上的點(diǎn)，將△A₁DC及△A₂EC分別沿DC和EC折起，使A₁，A₂重合于A，且二面角A―DC―E為直二面角．

(1)求證：CD⊥DE；

(2)求AE與平面DEC所成的角；

(3)求點(diǎn)D到平面AEC的距離．

Answer 1

解：(1)∵A₁，A₂重合于A，∴AC⊥AD，AC⊥AE．

    ∴AC⊥平面ADE，∴AC⊥DE．

    又A－DC－E為直二面角．

    ∴CD為AC在平面CDE上的射影，由三垂線定理的逆定理知CD⊥DE．

(2)∵A―DC―E為直二面角，作AF⊥CD于F，則AF⊥平面CDE．連EF，

則∠AEF為AE與平面DEC所成的角．

在Rt△CAD中，AD=2，AC=4，

    ∴DC=2，AF=．

    又∵CD⊥DE，

    ∴在正方形A₁BA₂C中，Rt△DBE∽Rt△CA₁D，

    故．∴DE=．

    由(1)知DE⊥AC，又二面角A―DC―E是直二面角．故DC是AD在平面CDE上的射影．

    由三垂線定理知DE⊥AD．

    ∴AE= =3．

    在Rt△AFE中，sin∠AEF=．

    即AE與平面DEC所成角的正弦值為．

    (3)由(1)知AC⊥平面ADE，∴平面ACE⊥平面ADE．作DH⊥AE于H，則DH⊥平面ACE．

    ∴DH的長為D到平面AEC的距離．

    在Rt△ADE中，AD=2，DE=，AE=3．

    ∴DH=．