【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（2）若曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(2) 曲線在點處的切線方程和聯(lián)立可得：，設(shè),通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷函數(shù)的零點個數(shù)，確定的范圍即可.

（1），設(shè)

①當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

② 當(dāng)時，(當(dāng)且僅當(dāng)時)，所以在上單調(diào)遞增；

③ 當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

④當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）曲線在點處的切線方程為，切線方程和聯(lián)立可得：，現(xiàn)討論該方程根的個數(shù)：

設(shè)， 所以.

，設(shè)，則.

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，所以只有唯一的零點，由的任意性，所以不符合題意；

② 當(dāng)時，在上小于零，在上大于零，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上小于或等于零，且有唯一的零點.

函數(shù)開口向上，若其判別式不大于零，

則對任意，有；若其判別式大于零，設(shè)其右側(cè)的零點為，則對任意的，有，所以在區(qū)間上，存在零點，綜上的零點不唯一；

當(dāng)時，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以其只有唯一的零點；

當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上大于或等于零，且有唯一的零點.

函數(shù)在區(qū)間上一定存在最大值，設(shè)為，若，則在上小于零.若，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上，存在零點，綜上的零點不唯一.

綜上，當(dāng) 時，曲線上存在唯一的點，使得曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點.

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