Question

【題目】將函數(shù)的圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象.已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求的值；

（2）設(shè)函數(shù)，證明：對(duì)任意，都存在，使得在上恒成立.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)構(gòu)造函數(shù)，分類討論函數(shù)的最大值可得.

(2)由題意可知函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合交點(diǎn)橫坐標(biāo)的范圍即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

(1)由題可得， .

， ， ，

當(dāng)即時(shí)， ，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解.

當(dāng)即時(shí)， ，∴，又，則不合題意.

當(dāng)即時(shí)， ，∴.

綜上， .

(2)∵在上遞減， 在上遞增，在上遞減，

且， ，∴與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).

設(shè)這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則由圖可知，當(dāng)時(shí)， ，∴；當(dāng)時(shí)， ，∴.

故對(duì)任意，都存在，使得在上恒成立.