Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對任意的t∈R，不等式f（t²﹣2t）+f（2t²﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
設(shè)x₁＜x₂則f（x₁）﹣f（x₂）=﹣=
因為函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)且x₁＜x₂
∴f（x₁）﹣f（x₂）=＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)
（III）∴f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²﹣2^_t）+f（2t²﹣k）＜0等價于f（t²﹣2t）＜﹣f（2t²﹣k）=f（k﹣2t²），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²﹣2t＞k﹣2t²．
即對一切t∈R有：3t²﹣2t﹣k＞0，
從而判別式 ．
所以k的取值范圍是k＜﹣．