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如圖，已知平行六面體ABCD－的底面ABCD是菱形，且===.

（I）證明：⊥BD；

（II）假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角 的平面角的余弦值；

（III）當的值為多少時，能使平面？請給出證明.

 

答案：
解析：

（I）證明：連結、AC，AC和BD交于O，連結.

∵ 四邊形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BC=CD.

又∵  ，

∴ ，

∴ ，

∵ DO=OB，

∴ BD，                                                                                        

但 AC⊥BD，AC∩=O，

∴ BD⊥平面.

又 平面，

∴ BD.                                                                                          

（II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，

∴ 是二面角的平面角.

在中，BC=2，，，

∴ .                                  

∵ ∠OCB=，

∴ OB=BC=1.

∴ ，

∴ 即.

作⊥OC，垂足為H.

∴ 點H是OC的中點，且OH，

所以 .                                                                

（III）當時，能使⊥平面.

證法一：

∵ ，

∴ BC=CD=，

又 ，

由此可推得BD=.

∴三棱錐C－ 是正三棱錐                                                             

設與相交于G.

∵∥AC，且∶OC=2∶1，

∴∶GO=2∶1.

又是正三角形的BD邊上的高和中線，

∴點G是正三角形的中心，

∴CG⊥平面.

即⊥平面                                                                         

證法二：

由（I）知，BD⊥平面，

∵平面，∴BD⊥.                                                    

當時 ，平行六面體的六個面是全等的菱形，

同BD⊥的證法可得⊥.

又 BD∩=B，

∴⊥平面.                                                                               

 


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點G是上底面O1A1B1C1的中心，且
OA
=
a
，
OC
=
b
，
OO1
=
c
，則用
a
，
b
，
c
表示向量
OG
為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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①求證：平面AB1D1∥平面BDC1；
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD的中點，AC1∩BD1=0，求證：OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大��；
（3）若點E，F分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD．

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