Question

已知橢圓的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于異于M的不同兩點A，B．直線MA、MB與x軸分別交于點E、F．
（1）求橢圓標準方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）證明△MEF是等腰三角形．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據(jù)性質(zhì)求解，（2）聯(lián)立方程組得出5x²+8mx+4m²-20=0，
利用5x²+8mx+4m²-20=0求解即可．
（3）轉(zhuǎn)化為k₁+k₂=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

=0根據(jù)韋達定理求解．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，因為e=

3

2

，所以a²=4b²，
又因為橢圓過點M（4，1），所以

16

a2

+

1

b2

=1，解得b²=5，a²=20，
故橢圓標準方程為  

x2

20

+

y2

5

=1，
（2）將y=x+m代入 

x2

20

+

y2

5

=1，
并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
令△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
又由題設(shè)知直線不過M（4，1），所以4+m≠1m≠-3，
所以m的取值范圍是 （-5，-3）∪（-3，5）．           
  （3）設(shè)直線AM，BM的斜率分別為k₁和k₂，
要證△MEF是等腰三角形，只要證明k₁+₂=0即可．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）知
x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

，
則k₁+k₂=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-4)+(y2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

即（y₁-1）（x₂-4）+（y₂-1）（x₁-4）=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8（m-1）=0，
∴k₁+k₂=0，
所以△AM是等腰三角形．

點評：本題綜合考察了直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理的運用，屬于難題．