Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（3）設(shè)b_n=（2-n）（a_n-1）（n∈N^*），如果對任意n∈N^*，都有bn＜

t

5

，求正整數(shù)t的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在遞推公式中依次令n=1，2，3計算求解．
（2）由已知可得，S_n=n-a_n，當n≥2時，S _n-1=（n-1）-a_n-1，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1，繼而a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
（3）由（2）得an=1-2-n（n∈N^*），故bn=(n-2)(an-1)=(n-2)•2-n，用作差比較法判斷{b_n}的單調(diào)性，得出其最大值，令最大值小于

t

5

，求正整數(shù)t的最小值．

解答： （1）解：由題意可知：當n=1時，a₁=1-a₁，解得：a1=

1

2

同理可得：當n=2時，a₁+a₂=2-a₂，解得：a2=

3

4

當n=3時，a₁+a₂+a₃=3-a₃，解得：a3=

7

8

（2）證明：由已知可得，S_n=n-a_n，
當n≥2時，S _n-1=（n-1）-a_n-1，
a_n=S_n-S_n-1=1-a_n+a_n-1
a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
即當n≥2時，b_n=

1

2

b_n-1，b₁=a₁-1=-

1

2

≠0
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其首項為-

1

2

，公比為

1

2

．
（3）由（2）可知{a_n-1}為等比數(shù)列，則an-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1
解得：an=1-2-n（n∈N^*），故bn=(n-2)(an-1)=(n-2)•2-n
顯然b1=-

1

2

，b₂=0，當n≥3時，b_n＞0
則當n≥3時，
由此可得：當n≥4時，數(shù)列{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，則b₃=b₄=max{b_n}
因此?n∈N^*，都有bn＜

t

5

，則

t

5

＞max{bn}=

1

8

解得：t＞

5

8

，即正整數(shù)t的最小值為1．

點評：本題主要考查由遞推公式推導(dǎo)數(shù)列的通項公式，考查等比數(shù)列的判定、通項公式求解，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算能力．