【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=AE=2.
(1)求證:BD⊥平面ACFE;
(2)當直線FO與平面BED所成的角為45°時,求異面直線OF與BE所成的角的余弦值大。
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由AE⊥平面ABCD得出AE⊥BD,由菱形性質得BD⊥AC,故BD⊥平面ACFE;
(2)以O為原點建立坐標系,設CF=a,求出和平面BDE的法向量,利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°,可得,即可求出a的值.
試題解析:
(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴BD⊥AE.
∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACFE.
(2)以O為坐標原點,,的方向為x軸,y軸正方向,過O且平行于CF的直線為z軸(向上為正方向),建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,設CF=a,則B(0,,0),D(0,-,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>0),=(-1,0,a).
設平面BED的法向量為n=(x,y,z),
則即
令z=1,則n=(-2,0,1),
由題意得sin 45°=|cos〈,n〉|===,
解得a=3或a=-.
由a>0,得a=3,
=(-1,0,3),=(1,-,2),
∴cos〈,〉==,
故異面直線OF與BE所成的角的余弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某名校從年到年考入清華,北大的人數可以通過以下表格反映出來。(為了方便計算,將年編號為,年編為,以此類推……)
年份 | ||||||||||
人數 |
(1)將這年的數據分為人數不少于人和少于人兩組,按分層抽樣抽取年,問考入清華、北大的人數不少于20的應抽多少年?在抽取的這年里,若隨機的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數不少于的概率是多少?;
(2)根據最近年的數據,利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預測年該校考入清華、北大的人數。(結果要求四舍五入至個位)
參考公式:
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【題目】在標有“甲”的袋中有個紅球和個白球,這些球除顏色外完全相同.
(Ⅰ)若從袋中依次取出個球,求在第一次取到紅球的條件下,后兩次均取到白球的概率;
(Ⅱ)現從甲袋中取出個紅球, 個白球,裝入標有“乙”的空袋.若從甲袋中任取球,乙袋中任取球,記取出的紅球的個數為,求的分布列和數學期望.
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【題目】某貧困地區(qū)截至2018年底,按照農村家庭人均年純收入8000元的小康標準,該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現小康.現從這些尚未實現小康的家庭中隨機抽取50戶,得到這50戶家庭2018年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖.
(1)補全頻率分布直方圖,并求出這50戶家庭人均年純收入的中位數和平均數(精確到元);
(2)2019年7月,為估計該地能否在2020年全面實現小康,統(tǒng)計了該地當時最貧困的一個家庭2019年1至6月的人均月純收入如表:
月份/2019(時間代碼) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
人居月純收入 (元) | 275 | 365 | 415 | 450 | 470 | 485 |
由散點圖及相關性分析發(fā)現:家庭人均月純收入與時間代碼之間具有較強的線性相關關系,請求出回歸直線方程;并由此估計該家庭2020年1月的家庭人均月純收入.
①可能用到的數據:;
②參考公式:線性回歸方程中,,.
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【題目】如圖,GH是東西方向的公路北側的邊緣線,某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫,設,并在公路北側建造邊長為的正方形無頂中轉站CDEF(其中EF在GH上),現從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1,且.
(1)求關于的函數解析式,并求出定義域;
(2)如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問:取何值時,該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低.
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【題目】某電力公司在工程招標中是根據技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的,按照綜合得分的高低進行綜合排序,綜合排序高者中標。分值權重表如下:
總分 | 技術 | 商務 | 報價 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質、資信等實力來決定的。報價表則相對靈活,報價標的評分方法是:基準價的基準分是68分,若報價每高于基準價1%,則在基準分的基礎上扣0.8分,最低得分48分;若報價每低于基準價1%,則在基準分的基礎上加0.8分,最高得分為80分。若報價低于基準價15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎上扣0.8分。在某次招標中,若基準價為1000(萬元)。甲、乙兩公司綜合得分如下表:
公司 | 技術 | 商務 | 報價 |
甲 | 80分 | 90分 | 分 |
乙 | 70分 | 100分 | 分 |
甲公司報價為1100(萬元),乙公司的報價為800(萬元)則甲,乙公司的綜合得分,分別是
A. 73,75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4
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【題目】已知橢圓,三點中恰有二點在橢圓上,且離心率為。
(1)求橢圓的方程;
(2)設為橢圓上任一點, 為橢圓的左右頂點, 為中點,求證:直線與直線它們的斜率之積為定值;
(3)若橢圓的右焦點為,過的直線與橢圓交于,求證:直線與直線斜率之和為定值。
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【題目】用0,1,2,3,4這五個數字組成無重復數字的自然數.
(Ⅰ)在組成的三位數中,求所有偶數的個數;
(Ⅱ)在組成的三位數中,如果十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都小,則稱這個數為“凹數”,如301,423等都是“凹數”,試求“凹數”的個數;
(Ⅲ)在組成的五位數中,求恰有一個偶數數字夾在兩個奇數數字之間的自然數的個數.
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