Question

已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）
（1）若a=4，b=3，過點(diǎn)P（6，3）的動(dòng)直線l與雙曲線C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，求證點(diǎn)Q總在某定直線上．
（2）在雙曲線C：（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點(diǎn)P（m，n）的動(dòng)直線l與雙曲線C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，則點(diǎn)Q在哪條定直線上？
（3）試將該結(jié)論推廣至其它圓錐曲線上，證明其中的一種情況，并猜想該直線具有的性質(zhì)．

Answer 1

解：（1）由題意得雙曲線C的方程為 ．

設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設(shè)知 均不為零，記 ，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而
于是 ，，，
從而 ①，②，
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 ③， ④，
①×9-②×16并結(jié)合③、④得9x-8y=24，
即點(diǎn)Q（x，y）總在定直線9x-8y=24上．
（2）類似于（1）可得結(jié)論：在雙曲線C：（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點(diǎn)P（m，n）的動(dòng)直線l與雙曲線C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，
得出點(diǎn)Q在定直線b²mx-a²ny=a²b²上；
（3）該結(jié)論推廣至其它橢圓上，有：
在橢圓C：（a＞0，b＞0），過橢圓外一點(diǎn)P（m，n）的動(dòng)直線l與橢圓C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，得出點(diǎn)Q在定直線b²mx+a²ny=a²b²上；
類似于（1）得：
于是 ，，，
從而 ①，②，
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 ③， ④，
①×b²+②×a²并結(jié)合③、④得b²mx+a²ny=a²b²，
即點(diǎn)Q（x，y）總在定直線b²mx+a²ny=a²b²上．
分析：（1）a=4，b=3，可得雙曲線的方程．欲證點(diǎn)Q總在某定直線上，所以先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為變量（x，y），點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為參數(shù)（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據(jù)已知條件可變形得 ，設(shè)其比值為λ則有 、，此時(shí)利用定比分點(diǎn)定理可得A、B、P三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，同時(shí)可得A、B、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，又因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，再利用已得關(guān)系式可整體替換，同時(shí)消去參數(shù)λ，最后得到變量x、y的關(guān)系式，則問題得證．
（2）類似于（1）可得結(jié)論：在雙曲線C：（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點(diǎn)P（m，n）的動(dòng)直線l與雙曲線C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，得出點(diǎn)Q在那條定直線上；
（3）該結(jié)論推廣至其它橢圓上，有：在橢圓C：（a＞0，b＞0），過橢圓外一點(diǎn)P（m，n）的動(dòng)直線l與橢圓C相交與不同兩點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足，得出點(diǎn)Q在定直線b²mx+a²ny=a²b²上．
點(diǎn)評：本題綜合考查雙曲線性質(zhì)與定比分點(diǎn)定理，同時(shí)考查構(gòu)造消元處理方程組的能力．