Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
（1）求cos＜

AB

，

PD

＞的值；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求|

EF

|的值；
（3）求二面角P-BC-D的大�。�

Answer 1

分析：選取AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁?huà)個(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
（1）所以

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），則cos＜

AB

，

PD

＞=

1

4

．
（2）因?yàn)镋、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，所以E（

3

4

a，-

a

4

，0），F(xiàn)（0，

a

4

，

3

4

a）．則|

EF

|=

10

4

a．
（3）因?yàn)槊鍼AD⊥面ABCD，PO⊥AD，所以PO⊥面ABCD．因?yàn)锽O⊥AD，AD∥BC，所以BO⊥BC．連接PB，則PB⊥BC，所以∠PBO為二面角P-BC-D的平面角．

解答：解：（1）選取AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-

a

2

，0），B（

3

2

a，0，0），P（0，0，

3

2

a），D（0，

a

2

，0）．
∴

AB

=（

3

2

a，

a

2

，0），

PD

=（0，

a

2

，-

3

2

a），
則cos＜

AB

，

PD

＞=

AB • PD

| AB || PD |

=

3 a ×0+ a 2 × a 2 +0×(- 3 2 a)

( 3 2 a)2+( a 2 )2+02 × 02+( a 2 )2+(- 3 2 a)2

=

1

4

．
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，
∴E（

3

4

a，-

a

4

，0），F(xiàn)（0，

a

4

，

3

4

a）．
則|

EF

|=

( 3 4 a-0)2+(- a 4 - a 4 )2+(0- 3 4 a)2

=

10

4

a．
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD．
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC．
連接PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P-BC-D的平面角．
在Rt△PBO中，PO=

3

2

a，BO=

3

2

a，
∴tan∠PBO=

PO

BO

=

3 2 a

3 2 a

=1．則∠PBO=45°．
故二面角P-BC-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．