Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是線段AD的中點(diǎn)，三棱錐F-OBC的體積為

2

3

，
（1）求證：OF⊥面FBC；
（2）求二面角B-OF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接OM，F(xiàn)M，設(shè)OM的中點(diǎn)為N，連接FM，則可證EO⊥面ABCD，進(jìn)而可得FN⊥面ABCD，利用三棱錐F-OBC的體積為

2

3

，可得FN=1，進(jìn)而可知OF⊥FM，由BC⊥面OFN，可得BC⊥OF，從而可證OF⊥面FBC；
（2）判斷∠BFC為二面角B-OF-C的平面角．利用余弦定理可求二面角B-OF-C的余弦值．

解答：（1）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接OM，F(xiàn)M，設(shè)OM的中點(diǎn)為N，連接FN
∵EA=ED，O是AD的中點(diǎn)，∴EO⊥DA，
∵面EAD⊥面ABCD，面EAD∩面ABCD=AD，
∴EO⊥面ABCD
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，O是AD的中點(diǎn)，∴OM∥AB
∵EF∥AB，∴ON∥EF
∵ON=EF=1，∴四邊形ONFE為平行四邊形，∴FN∥EO
∴FN⊥面ABCD
∵三棱錐F-OBC的體積為

2

3

，
∴V_F-OBC=

1

3

S△OBC×FN=

2

3

∴FN=1
∵ON=OM=1，∴∠OFN=∠MFN=45°
∴∠MFO=90°，∴OF⊥FM
∵BC⊥OM，BC⊥FN，∴BC⊥面OFN
∴BC⊥OF
∵BC∩FM=M，∴OF⊥面FBC；
（2）解：∵OF⊥面FBC，∴OF⊥BF，OF⊥CF
∴∠BFC為二面角B-OF-C的平面角
∵BF=CF=

3

∴cos∠BFC=

BF2+CF2-BC2

2BF×CF

=

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定定理，正確作出面面角．