Question

已知點A，B，C，D的坐標分別為A（1，0），B（0，1），C（cosα，sinα），α∈[0，2π）．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

AC

=

1

3

，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的化簡求值,向量的模,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用向量的數(shù)量積及向量模的運算性質(zhì)可求得tanα=1，α∈[0，2π），從而可得答案；
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

⇒sinα+cosα=

2

3

，等號兩邊平方可得2sinαcosα=-

5

9

，將所求關(guān)系式中的弦化切即可求得答案．

解答： 解：（1）

AC

=(cosα-1，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-1)，
由|

AC

|=|

BC

|，
得

(cosα-1)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-1)2

，
即

2-2cosα

=

2-2sinα

，
∴cosα=sinα，
∴tanα=1，
又α∈[0，2π），α=

π

4

或

5π

4

；
（2）由

AC

•

BC

=

1

3

，
得(cosα-1)cosα+(sinα-1)sinα=

1

3

，
∴sinα+cosα=

2

3

．
上式兩邊平方得1+2sinα+cosα=

4

9

，
∴2sinαcosα=-

5

9

．
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查平面向量數(shù)量積的運算，屬于中檔題．