【題目】已知橢圓的離心率為,點(diǎn),,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為等腰三角形.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過(guò)左焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),其中,另一條過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)(不與重合),且點(diǎn)不與點(diǎn)重合. 過(guò)軸的垂線分別交直線,.

①求點(diǎn)坐標(biāo); ②求證:.

【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 見解析.

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)已知求出,即得橢圓方程為. (Ⅱ)①由 可求. ②當(dāng)軸垂直時(shí),兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合,由橢圓的對(duì)稱性,. 當(dāng)不與軸垂直時(shí),聯(lián)立直線和橢圓方程證明,即.

(Ⅰ)由已知,得,

為等腰三角形,

解得

橢圓方程為.

(Ⅱ)①由題意可得直線的方程為.

與橢圓方程聯(lián)立,由 ,可求.

②當(dāng)軸垂直時(shí),兩點(diǎn)與,兩點(diǎn)重合,由橢圓的對(duì)稱性,.

當(dāng)不與軸垂直時(shí),

設(shè),的方程為).

消去,整理得.

,.

由已知,,則直線的方程為,

,得點(diǎn)的縱坐標(biāo).

代入得.

由已知,,則直線的方程為,

,得點(diǎn) 的縱坐標(biāo).

代入得.

,

代入到中,

=.

,即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

1)令,若曲線在點(diǎn)處的切線的縱截距為,求的值;

2)設(shè),若方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四面體中,E是線段的中點(diǎn),,.

1)證明:

2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】由于《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》節(jié)目在社會(huì)上反響良好,某地也模仿并舉辦民間詩(shī)詞大會(huì),進(jìn)入正賽的條件為:電腦隨機(jī)抽取10首古詩(shī),參賽者能夠正確背誦6首及以上的進(jìn)入正賽.若詩(shī)詞愛好者甲、乙參賽,他們背誦每一首古詩(shī)正確的概率均為

1)求甲進(jìn)入正賽的概率.

2)若參賽者甲、乙都進(jìn)入了正賽,現(xiàn)有兩種賽制可供甲、乙進(jìn)行PK,淘汰其中一人.

賽制一:積分淘汰制,電腦隨機(jī)抽取4首古詩(shī),每首古詩(shī)背誦正確加2分,錯(cuò)誤減1分.由于難度增加,甲背誦每首古詩(shī)正確的概率為,乙背誦每首古詩(shī)正確的概率為,設(shè)甲的得分為,乙的得分為

賽制二:對(duì)詩(shī)淘汰制,甲、乙輪流互出詩(shī)名,由對(duì)方背誦且互不影響,乙出題,甲回答正確的概率為0.3,甲出題,乙回答正確的概率為0.4,誰(shuí)先背誦錯(cuò)誤誰(shuí)先出局.

i)賽制一中,求甲、乙得分的均值,并預(yù)測(cè)誰(shuí)會(huì)被淘汰;

ii)賽制二中,誰(shuí)先出題甲獲勝的概率大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為響應(yīng)國(guó)家“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”的號(hào)召,某貧困縣在精準(zhǔn)推進(jìn)上下功夫,在精準(zhǔn)扶貧上見實(shí)效.根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂蛱攸c(diǎn)大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來(lái)愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動(dòng)與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位:個(gè))與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位:℃)有關(guān),于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)選取了5天進(jìn)行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的5組觀察數(shù)據(jù)如表:

日期

2

7

15

22

30

溫度/℃

10

11

13

12

8

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)

22

24

29

25

16

1)從這5天中任選2天,記這2天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為m,n,求“事件m,n均不小于24”的概率?

2)科研人員確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

①若選取的是32日與330日這2組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)37日、15日和22日這三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程?

②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值均不超過(guò)2個(gè),則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?

附公式:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2020年春節(jié)期間,全國(guó)人民都在抗擊新型冠狀病毒肺炎的斗爭(zhēng)中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫(kù)存不足,某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī),南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫(kù)存的醫(yī)用防護(hù)物資,得知消息后,立即決定無(wú)償捐贈(zèng)這批醫(yī)用防護(hù)物資,需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇,且選擇兩條路線所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車,通過(guò)這兩條路線從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下:

所用的時(shí)間(單位:小時(shí))

路線1的頻數(shù)

200

400

200

200

路線2的頻數(shù)

100

400

400

100

假設(shè)汽車A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā),汽車B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)(將頻率視為概率).為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資,來(lái)確定這兩車的路線.

1)汽車A和汽車B應(yīng)如何選擇各自的路線.

2)若路線1、路線2一次性費(fèi)用分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元,且每車醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬(wàn)元(其他費(fèi)用忽略不計(jì)),以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān),作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分,具體規(guī)則如下(已知兩輛車到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立,互不影響):

到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x(單位:小時(shí))

該車得分

0

1

2

生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車得分情況給出現(xiàn)金排款,兩車得分和為0,捐款40萬(wàn)元,兩車得分和每增加1分,捐款增加20萬(wàn)元,若汽車A、B用(1)中所選的路線運(yùn)輸物資,記該生產(chǎn)商在此次援助活動(dòng)中援助總額為Y(萬(wàn)元),求隨機(jī)變量Y的期望值,(援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中,,,,已知,分別是,的中點(diǎn),將沿折起,使的位置如圖所示,且,連接

1)求證:平面平面

2)求平面與平面所成銳二面角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲,兩人一組,每輪游戲中,每小組兩人每人投籃兩次,投籃投進(jìn)的次數(shù)之和不少于次稱為優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組,小明、小亮投籃投進(jìn)的概率分別為.

1)若,,則在第一輪游戲他們獲優(yōu)秀小組的概率;

2)若則游戲中小明小亮小組要想獲得優(yōu)秀小組次數(shù)為次,則理論上至少要進(jìn)行多少輪游戲才行?并求此時(shí)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,過(guò)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且周長(zhǎng)為8.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)是否存在直線,使以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),若存在求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案