Question

6．已知命題p：?x∈[0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＜m；命題q：?x∈R，x²+2＞m²．
（1）若（￢p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若命題p為真命題，則m＞1；若命題q為真命題，則$-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$．（1）若（￢p）∧q為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p與q必然一真一假，解出即可．

解答 解：命題p：?x∈[0，+∞），（$\frac{1}{2}$）^x＜m，則m＞1；
命題q：?x∈R，x²+2＞m²，∴m²＜2，解得$-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$．
（1）若（￢p）∧q為真命題，∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$-\sqrt{2}＜m≤1$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-\sqrt{2}，1]$；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
則p與q必然一真一假，
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≤-\sqrt{2}或m≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$m≥\sqrt{2}$．
若q真p假，則$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得$-\sqrt{2}＜m≤1$．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-\sqrt{2}，1]$∪$[\sqrt{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．