Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+1，x∈[-2，5]
（1）若f（x）在[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）若f（x）的最大值為13，求a的值．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)，則定區(qū)間在函數(shù)圖象對稱軸的同一側(cè)；
（2）分類討論給定區(qū)間和對稱軸的位置關(guān)系，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的最小值；
（3）分類討論給定區(qū)間和對稱軸的位置關(guān)系，結(jié)合f（x）的最大值為13，可得答案．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-2ax+1的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對稱軸的拋物線，
若f（x）在[-2，5]上是單調(diào)函數(shù)，則a≤-2，或a≥5；
（2）當(dāng)a≤-2時，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[-2，5]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取最小值4a+5；
當(dāng)-2＜a＜5時，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[-2，a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a，5]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=a時，函數(shù)取最小值-a²+1；
當(dāng)a≥5時，函數(shù)f（x）=x²-2ax+1在區(qū)間[-2，5]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=5時，函數(shù)取最小值-10a+26；
綜上所述，f（x）的最小值為：$\left\{\begin{array}{l}4a+5，a≤-2\\-{a}^{2}+1，-2＜a＜5\\-10a+26，a≥5\end{array}\right.$，
（3）當(dāng)a≤$\frac{-2+5}{2}$=$\frac{3}{2}$時，當(dāng)x=5時，函數(shù)取最大值-10a+26=13，解得：a=$\frac{13}{10}$；
當(dāng)a＞$\frac{-2+5}{2}$=$\frac{3}{2}$時，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取最大值4a+5=13，解得：a=2；
綜上所述，a=$\frac{13}{10}$，或a=2；

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．